비모수 통계 : 일표본 위치 부호 검정

1. 일표본 위치 문제란?

일표본 위치 문제는 주어진 연속형 확률분포를 따르는 모집단의 위치 모수(중앙값)에 대해 검정 및 추정을 하는 문제입니다. 일표본 위치 문제는 비모수적 방법으로 부호검정, 순위 검정, 부호순위검정 등을 사용하여 해결 할 수 있습니다. 이 글에서는 부호 검정에 대해 다루겠습니다.   

 

2. 기본 모형

 

기본 모형은 미지의 위치 모수를 기준이 됩니다.  즉 모집단의 확률 표본들은 위치 모수를 기준으로 얼마나 차이가 있는지를 알 수 있습니다. 

 

3. 부호 검정

먼저 검정을 위한 절차는 간단합니다. 가설 설정 --> 검정통계량  --> 기각역 설정 --> 검정 순으로 진행 됩니다. 

 

1) 가설 설정

가설은 미지의 위치 모수에 대한 설정입니다. 여기서 기본 가정은 위치모수는 중앙값이라는 것입니다. 그리고 필수는 아니지만 추가적인 가정은 대칭성입니다. 만약 대칭성을 만족한다면 위치모수는 중앙값인 동시에 평균이 될 수 있습니다. 

 

2) 검정통계량 

부호 검정은 각 확률 표본들에 대해 부호를 표시합니다. 

 

위 기준에 따라 부호가 결정 되고 1의 값을 가지는 표본들을 모두 더한 값이 검정통계량이 됩니다. 검정통계량은 베르누이 분포가 n개 모인 값이기에 이항분포를 따릅니다. 

 

3) 기각역 설정

기각역은 기각역의 영역이 유의수준 알파가 되느 선에 맞춰서 설정합니다. 여기서 부등호에 따라 -1을 하는 경우가 있는데 이는 이항분포의 성질 때문입니다. 

 

4. 동점 처리

표본의 관즉치가 귀무가설에서 설정한 모수값과 같다면 그 관측치는 표본에서 제외한 후 나머지 표본 값을 이용하여 부호 검정을 실시합니다.